El lenguaje de la lógica proposicional back

Una expresión proposicional se construye a partir de algún conjunto de proposiciones y los conectivos lógicos:

• Conjunción: para afirmar que dos proposiciones se dan de manera conjunta.
• Disyunción: para afirmar que dos proposiciones se dan de manera separada.
• Negación: para negar una proposición.

Por ejemplo, asuma las siguientes proposiciones:

• Hoy es martes.
• El cielo es azul.
• 2 + 5 = 6.

Entonces podemos formular expresiones como las siguientes:

• Hoy es martes y el cielo es azul, es la conjunción de hoy es martes con el cielo es azul. Esta proposición compuesta es verdadera si ambas, hoy es martes y el cielo es azul son verdaderas.
• Hoy es martes o 2 + 5 = 6, es la disyunción de hoy es martes con 2 + 5 = 6. Esta proposición es verdadera si alguna de hoy es martes y 2 + 5 = 6 es verdadera, aunque no necesariamente ambas.
• No es verdad que 2 + 5 = 6, es la negación de 2 + 5 = 6. Esta proposición es verdadera si es falso que 2 + 5 = 6.

Formalización

En la lógica de proposiciones usamos variables (o letras proposicionales) para representar proposiciones y símbolos para representar los conectivos, también llamados operadores lógicos, ya que estos representan funciones sobre las proposiciones.

Además de estos símbolos usaremos paréntesis como símbolos auxiliares para agrupar expresiones así como los símbolos ⊤ para representar verdad y ⊥ para representar falsedad.

Sintaxis

Formalmente, las expresiones proposicionales se definen de la siguiente manera:

• Toda letra proposicional es una expresión proposicional, así como los símbolos ⊤ y ⊥.
• Si φ es una expresión proposicional, entonces ¬φ es una expresión proposicional.
• Si φ y ψ son expresiones proposicionales, entonces también (φ ∧ ψ) y (φ ∨ ψ) son expresiones proposicionales.

Si φ es una expresión proposicional, entonces (φ) también una expresión proposicional. Además de los conectivos de conjunción, disyunción y negación, podemos usar los siguientes:

Semántica

Asuma el conjunto de valores de verdad {0,1}, donde usamos 0 para representar falso y 1 para representar verdadero. Le llamamos una valuación a la asignación de valores de verdad al conjunto de variables proposicionales. Los operadores lógicos actúan sobre este conjunto de valores de acuerdo con las siguientes tablas:

Similarmente, para los operadores compuestos implicación, doble implicación y disyunción exclusiva tenemos las siguientes: